こんにちは、ぱそきいろです。
仕事でサブスクサービスを担当しています。
その中で
平均継続期間＝1/解約率
という謎の数式が出てきました。
証明の有名なブログもあるみたいですが別の証明が思いついたので残しておきます。
無限等比数列の和を使った証明
migi.hatenablog.com
最初これを見て納得しました。
が、自分が想定していた証明と少し違うので解きなおしました。
（おそらく本質は同じ気がしますが。。）
積分を使った証明
上記リンクと同じ、ユーザ数10,000人、月の解約率が10%のサービスを想定します。
この時、xヶ月目のユーザ数は
と表せます。
これをグラフにすると、以下になります。
ここで累計ユーザ数は緑で塗ったところで表されます。
xヶ月目のユーザ数を積分することで累計ユーザ数が分かります。
ということで以下の式を解いていきます。
まずは積分をして
ここで以下よりnを∞に飛ばすと一項目が消えます。
（解約率は0以上1以下）
さらにここで同じく0 < x < 1のときlog(1+x)=xで近似できます。
（ここでも解約率が0以上1以下が生きてくる）
zellij.hatenablog.com
よってlog(1-C)=-Cとなるので
一人当たりの継続期間なのでユーザ数Uで割ると
でやっと1/解約率となりました！
まとめ
これで私も平均継続期間が1/解約率を自信をもって使えます！
平均継続期間×単価で1ユーザが生涯払ってくれるお金が分かるので、「1ユーザあたりを獲得するのに〇円かければよい」が分かりそうですね。
（実際は現在価値に割り引かないといけない気がするけどいったん無視します）
